Staðlað námsmat þarf að veita niðurstöður sem endurspegla þá hæfni sem prófinu er ætlað að mæla og til þess er skilgreindur matsrammi sem setur fram líkan fyrir prófið. Matsrammar í stærðfræði fara gjarnan þá leið að skilgreina tvennt: hvert inntak prófs er og hvers konar færni nemendum er ætlað að sýna. Inntaksflokkar skilgreina efnislegt inntak stærðfræðinnar sem meta skal en færniþættir skilgreina þá hugrænu færni sem nemendur sýna fram á við úrlausn prófatriða. Inntak prófs þarf að vera í samræmi við þau viðmið sem liggja til grundvallar og fela í sér hæfilegt vægi og breidd í mælanlegri færni. Fyrir stöðu- og framvindupróf Matsferils í stærðfræði liggja hæfniviðmið aðalnámskrár grunnskóla til grundvallar hvað varðar efnislegt inntak, eins og fram hefur komið.

Inntaksflokkar matsramma í stærðfræði á grunnskólastigi hafa almennt verið skilgreindir á nokkuð sambærilegan hátt. Í núgildandi íslenskri aðalnámskrá er hæfniviðmiðum í stærðfræði skipt í fjóra inntaksflokka: tölur og reikning, algebru, rúmfræði og mælingar og tölfræði og líkindi. Auk þess er fimmti flokkurinn vinnulag stærðfræðinnar sem gengur þvert á efnislegt inntak. Í námskrám frá 1999 og 2007 voru inntaksflokkarnir sex talsins. Samanborið við erlenda matsramma er þetta nálægt því sem gengur og gerist. Borið saman við alþjóðlegan stærðfræðiramma UNESCO eða stærðfræðiramma NAEP prófanna í Bandaríkjunum er helsti munurinn sá að í þeim eru rúmfræði og mælingar tveir aðskildir flokkar og að auki er mismunandi að hvaða marki lágmarksviðmið eru skilgreind niður á námsár (UNESCO Institute for Statistics, 2021; National Assessment Governing Board, 2021). Stærðfræðirammar tveggja alþjóðlegra prófa, TIMSS sem miðar að 4. og 8. bekk, og PISA sem miðar við lok skyldunáms, hafa einnig fjóra inntaksflokka sem svara í megindráttum til sömu fjögurra inntaksflokka og í íslenskri aðalnámskrá (Mennta- og barnamálaráðuneytið, 2024; Mullis, Martin og von Davier, 2021; OECD, 2023).

Færniþættir í stöðluðum prófum í stærðfræði eru gjarnan á bilinu þrír til fimm talsins. Með þeim er skilgreind hugræn færni með hugsmíðum á borð við kunnáttu og þekkingu, beitingu og skilning, túlkun, tjáskipti og stærðfræðilega framsetningu eða stærðfræðilegan rökstuðning. Í Noregi byggir samræmt námsmat til að mynda á þremur færniþáttum: Þekkja og lýsa, beita og setja fram, ígrunda og meta. Í námskrá er fjórði færniþátturinn sem reynir á fjölbreytt tjáskipti um stærðfræði (Utdanningsdirektoratet, 2017). Samskonar skipting í þrjá færniþætti í stærðfræði er í matsramma TIMSS og í matsramma NAEP (Mullis, Martin og von Davier, 2021; National Assessment Governing Board, 2021). Í PISA, við lok skyldunáms, er sérstök áhersla á stærðfræðilega röksemdafærslu og þrautalausn (OECD, 2023). Sé horft til þróunar þessara matsramma í stærðfræði til undanfarinna áratuga þá hafa verið örari breytingar á skilgreiningu færniþátta samanborið við inntaksflokka.

Í undirbúningsvinnu fyrir Matsferil í stærðfræði var útbúinn matsrammi. Matsramminn felur í sér líkan sem skilgreinir bæði efnislegt inntak (inntaksflokkar) og hvers konar hugræna færni nemandi þarf að sýna (færniþættir). Uppbygging stöðu- og framvinduprófa Matsferils byggir þannig á samskonar fræðilegu líkani og ýmsir matsrammar fyrir stöðluð próf í stærðfræði (sjá kaflann Líkan fyrir matsramma í stærðfræði).

Inntaksflokkar eru þeir sömu og tilgreindir eru í efnislegum flokkum hæfniviðmiða í stærðfræðihluta aðalnámskrár:

• Tölur og reikningur

• Algebra

• Tölfræði og líkindi

• Rúmfræði og mælingar

Við samsetningu prófa er leitast við að hafa jafnvægi innan hvers inntaksflokks með tilliti til yfirheita hæfniviðmiða aðalnámskrár. Þá eru til grundvallar viðmiðatöflur sem byggja bæði á aðalnámskrá, stuðningsefni hennar og stærðfræðiramma UNESCO (sjá kaflann um Aðalnámskrá).

Færniþættir eru þrír og eru skilgreindir á eftirfarandi hátt:

• Kunnátta: að kunna merkingu stærðfræðilegra fyrirbæra og geta framkvæmt reikniaðgerðir. Til að leysa prófatriði sem reyna á kunnáttu þarf nemandi að kunna að framkvæma reikniaðgerðir eða þekkja skilgreiningu stærðfræðilegra fyrirbæra, svo sem talna, stæðna, forma, aðgerða eða annarra hugtaka. Til dæmis geta undir færniþátt kunnáttu flokkast verkefni um að bera kennsl á stærðfræðilega jafngild fyrirbæri; að raða tölum eftir stærð; að flokka rúmfræðimyndir eftir hlutbundnum eiginleikum; að lesa upplýsingar beint úr grafi eða töflu; einföldun algebrustæðu; beinn útreikningur með gefnum tölum. Prófatriði segir til um hvað nemandi skal gera. Nemanda er ekki ætlað að finna eigin leið, greina upplýsingar eða nota röksemdafærslu.

• Beiting: að geta ákvarðað hvað skal gera og beitt hugtökum eða aðferðum. Til að leysa prófatriði sem reynir á beitingu þarf nemandi að ákveða hvað skal gera og hvernig með því að beita stærðfræðilegum skilgreiningum, hugtökum eða aðferðum. Til dæmis geta undir færniþátt beitingar flokkast verkefni um að ákvarða viðeigandi aðgerðir, strategíur og verkfæri til úrlausnar; að flokka stærðfræðileg fyrirbæri eftir óhlutbundnum eiginleikum; að setja fram gögn í töflu eða grafi; setja fram eða ákvarða líkön verkefnis, rúmfræðimyndir eða jöfnur og setja fram jafngilda framsetningu gefins stærðfræðilegs fyrirbæris. Nemandi gæti verið beðinn um að ákvarða skref við úrlausn eða bera kennsl á útskýringar en ekki beðinn að nota stærðfræðilega röksemdafærslu.

• Rök og greining: að geta greint, túlkað og rökstutt til að komast að niðurstöðu. Til að leysa prófatriði sem reynir á rök og greiningu þarf nemandi að greina vandamál, túlka og nota röksemdir til að komast að niðurstöðu. Til dæmis geta undir færniþátt rök og greiningar flokkast verkefni um að greina, túlka, lýsa eða nota tengsl milli stærðfræðilegra fyrirbæra; tengja saman þekkingu, tengdar framsetningar eða aðgerðir; setja fram eða ákvarða hvaða rök styðja við strategíu eða niðurstöðu og fullyrða um tengsl eða skilyrði alhæfingar. Prófatriði gæti krafið nemendur um að alhæfa út frá sértækum dæmum. Nemandi þarf að hugsa upp verkáætlun og beita dómgreind, greiningarhæfni eða skapandi hugsun.

Eftirfarandi eru nokkur dæmi um prófatriði eftir færniþáttum. Taflan er langt frá því að vera tæmandi en leitast er við að gefa almenn dæmi með ólík aldursstig í huga.

Dæmi um prófatriði í stærðfræði eftir færniþáttum

Rétt er að árétta að færniþættir segja ekki beint til um þyngdarstig prófatriða. Prófatriði geta verið þung eða létt óháð færniþáttum innan ólíkra bekkjarárganga.

Í niðurstöðukafla handbókarinnar er að finna ítarlegri upplýsingar um inntak hvers undirflokks matsrammans fyrir sig. Í hverjum undirflokki eru nákvæmar atriðalýsingar sem prófspurningar byggja á og gefa lýsingarnar góða hugmynd um eðli færninnar sem nemendur þurfa að búa yfir og metin er á stærðfræðiprófinu. Hafa ber í huga að eitt próf getur aldrei verið tæmandi þannig að það meti alla stærðfræðilega hæfni heldur gefur það almennar vísbendingar um hver staða nemanda er í stærðfræði miðað við jafnaldra út frá matsramma prófsins.

Nauðsynlegur hluti af þróun matstækis er gerð inntakstöflu. Tilgangur hennar er að tryggja að prófið endurspegli atriði sem eru sanngjörn og dæmigerð fyrir þá hæfni eða kunnáttu sem því er ætlað að mæla. Gerð inntakstöflu styður jafnframt við réttmæti prófsins og tryggir jafnvægi á milli tegunda og þyngdar prófatriða. Inntakstaflan er því í raun uppskriftin af stöðu- og framvinduprófinu og lýsir hún vægi inntaksflokka og færniþátta í hverri prófútgáfu fyrir sig. Prófútgáfurnar eru fjórtán eða tvær í hverjum árgangi í 4.–10. bekk. Inntakstaflan er nokkuð fastmótuð og gerir kleift að bera saman niðurstöður milli ára og þróun í frammistöðu í stærðfræði yfir lengri tíma.

Sérhver spurning (prófatriði) tilheyrir annars vegar inntaksflokki (til dæmis algebra) og hins vegar færniþætti (til dæmis beiting). Vægi sérhvers inntaksflokks og færniþáttar er fyrirfram skilgreint í prófunum og er birt hér í inntakstöflu prófsins. Birt vægi á við prófin í heild en við samsetningu þeirra er leitast við að hlutfall prófverkefna eftir færniþáttum sé sambærilegt milli inntaksflokka. Fjöldi prófatriða í einni prófútgáfu gerir það að verkum að hlutföllin fela í sér lítilsháttar skekkjumörk.

Inntakstafla fyrir stöðu- og framvindupróf í stærðfræði - inntaksflokkar

Inntakstafla fyrir stöðu- og framvindupróf í stærðfræði – færniflokkar

Einnig er vert að nefna að inntakstaflan miðar við fjölda spurninga í einni prófútgáfu. Þar sem tvær prófútgáfur eru í hverjum bekkjarárgangi er heildarfjöldi spurninga innan bekkjarárgangs tvöfaldur. Til dæmis eru samtals 48 spurningar í 4. bekk, 24 í hvorri prófútgáfu. Hver nemandi fær úthlutað einni prófútgáfu. Að teknu tilliti til tengiatriða, sem eru spurningar sem lagðar eru fyrir sameiginlega í tveimur aðlægum bekkjarárgöngum í þeim tilgangi að meta framvindu, þá er heildarfjöldi prófatriða í 4.–10. bekk samtals 330. Nánar verður fjallað um tengiatriði í próffræðilegri skýrslu stöðu- og framvinduprófa.

Huga þarf að ýmsu við val á atriðum í próf. Áður en að því kemur að velja hvaða prófatriði rata fyrir augu próftaka hefur fjöldinn allur farið í gegnum ferli forprófana, greiningar og endurskoðunar, ásamt bæði innri og ytri rýni. Tryggja þarf að inntakstafla prófsins sé uppfyllt og hugað að jafnvægi á ýmsum sviðum.

Við valið þarf að gæta þess að prófið búi yfir breidd í þyngd prófatriða: þung, miðlungs og létt. Þá þarf að tryggja að tölfræðileg aðgreining sé nægileg. Ef prófatriði uppfyllir ekki skilyrði um þyngd og tölfræðilega aðgreiningu er það ekki notað í próf.

Einnig þarf að viðhafa jafnvægi milli prófatriða sem fela í sér rauntengd viðfangsefni við þau sem eru alfarið staðsett í heimi stærðfræðinnar. Í rauntengdum viðfangsefnum er leitast við að höfða ýmist til ýmissa áhugasviða eða daglegs lífs nemenda á einhvern hátt sem og getu þeirra til aðgerða með þekkingu sinni á stærðfræði í samræmi við aldur og þroska.

Ekki er komist hjá því að sum prófatriði í stærðfræði innihaldi stuttan lestexta. Snið texta í prófatriðum í stærðfræði er allajafna auðlesinn texti með stuttum málsgreinum og tíðum línuskilum, sér í lagi hjá yngri nemendum. Magn texta getur verið meira hjá eldri nemendum þar sem þess er þörf. Þó er ávallt stefnt að því að lestexti sé eins hnitmiðaður og mögulegt er til að hæglæsi verði ekki að hindrun fyrir nemendur til að sýna fram á færni sína í stærðfræði. Meðalfjöldi orða í hverju prófatriði er um það bil 12–15 orð.

Af greinasviðum grunnskólans er stærðfræði með þeim umfangsmestu. Það birtist meðal annars í því að fjöldi hugtaka í Hugtakasafni í stærðfræði sem MMS gefur út hleypur á hundruðum. Kennsla í stærðfræði gengur því að talsverðum hluta út á að styrkja skilning nemenda á hugtökum. Rökleg og lóðrétt uppbygging stærðfræðinnar sem faggreinar er lykilatriði í markvissri kennslu sem miðar að hugtakaskilningi. Að sama skapi veldur hún því að ef nemendur skortir vissar stoðir í skilningi sínum þá getur vandi byrjað að vinda upp á sig eftir því sem líður á skólagöngu þeirra. Með því að fylgjast náið með námsframvindu nemenda og vinna jöfnum höndum að kennslu til skilnings og þjálfun í þeim aðferðum sem við á hverju sinni má verulega auka líkur á að nemendur öðlist þá hæfni í stærðfræði sem til er ætlast samkvæmt námskrá (Rittle-Johnson og Schneider, 2014).

Til að hringrás mats og kennslu skili árangri þarf hver einasti hluti hringrásarinnar að vera virkur (sjá nánar í stuðningsefni aðalnámskrár). Stöðu- og framvindupróf í stærðfræði snúa að langtímasamhengi skólastarfsins. Þau veita bæði upplýsingar um almenna stöðu nemenda á tilteknum tímapunkti (í þeim árgangi þegar próf er þreytt) og hvernig framvinda hans í námi er yfir lengri tíma. Þessar upplýsingar eru dýrmætar fyrir skóla til að styrkja vel upplýstar ákvarðanir um skipulag náms og kennslu í stærðfræði fyrir alla þá flóru sem einkennir fjölbreyttan nemendahóp grunnskólanna. Til eru þeir nemendur sem þurfa auknar áskoranir og meira krefjandi verkefni í sínu stærðfræðinámi. Einnig eru til þeir nemendur sem þurfa aukinn stuðning, hvort sem er til skemmri eða lengri tíma. Sá aukni stuðningur getur eftir atvikum verið í formi inngrips með smærri hóp eða einstaklingskennslu. Gjarnan nægir tímabundið inngrip til að koma nemanda aftur á réttan kjöl í að fylgja sínum árgangi að í námi. Ein slök frammistaða á stöðu- og framvinduprófi leiðir því alls ekki sjálfkrafa til þess að þörf sé á sértækum stuðningi til langs tíma, þó vissulega geti raunin stundum verið sú að þess sé þörf. Margt þarf að taka inn í reikninginn við slíkar ákvarðanir, en ávallt með námslega hagsmuni nemanda að leiðarljósi. Í því geta upplýsingar um framvindu í frammistöðu nemanda milli ára leikið hlutverk.

Af öllum hlutum hringrásar mats og kennslu er stigskipt kennsla og stuðningur einn sá umfangsmesti. Í þessari handbók rúmast aðeins brotabrot af því sem kann að gagnast starfsfólki skóla við þennan hluta faglegs starfs með nemendum í stærðfræði. Til að minnast á örfáar bjargir hér má fyrst nefna líkan fyrir stigskipta kennslu barna í fjögur stig sem miðar að bæði nákvæmni og fimi með áherslu á alhæfingu og þrautalausnir á seinni stigunum (Reed og Luiselli, 2011). Af almennari björgum má nefna tvær nýlegar bækur á íslensku sem miða að miklu leyti að stærðfræðikennslu: Annars vegar íslenska bók með gæði kennslu sem útgangspunkt, meðal annars endurgjöf, vitsmunalega áskorun og samræðumiðaða kennslu (Anna Kristín Sigurðardóttir, Hermína Gunnþórsdóttir og Rúnar Sigþórsson, 2025), og hins vegar þýdda bók um hugsandi skólastofu í stærðfræði með 14 aðferðum sem styðja við nám nemenda (Liljedahl, 2025).

Nú þegar þessi fyrsta útgáfa handbókar fyrir stöðu- og framvindupróf Matsferils lítur dagsins ljós er um að ræða upphaf langtímaverkefnis sem er Matsferill í stærðfræði. Stöðu- og framvinduprófin eru mjög mikilvægur hluti hans sem veitir skólum gagnlegar upplýsingar fyrir skipulag náms og kennslu í stærðfræði fyrir 4.–10. bekk. Aðrir hlutar Matsferils í stærðfræði, svo sem skimunarpróf fyrir yngsta stig og matstæki í verkfærakistu, munu einnig gegna mikilvægu hlutverki við að styðja við nám og kennslu í stærðfræði fyrir allt grunnskólastigið. Í næstu útgáfu þessarar handbókar má vænta þess að hér verði unnt að tengja hlutverk þeirra við stöðu- og framvinduprófin með nákvæmari hætti.

Í vinnslu